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Pruebas de independencia en una tabla 2×2: ji cuadrada de Pearson, corrección de Yates, variante N−1, prueba exacta de Fisher y coeficiente φ

Captura los cuatro conteos de la tabla 2×2 y obtén las frecuencias esperadas, la ji cuadrada de Pearson con y sin corrección de Yates, la variante N−1, la prueba exacta de Fisher bilateral, el coeficiente φ con signo y la razón de momios condicional con su intervalo, además de la prueba que recomienda la regla de Cochran para estos conteos.

https://udgca1190.com.mx/herramientas/bioestadistica/chi-cuadrada-fisher

Grupo o exposición	Desenlace	Total
Grupo 1 (expuestos)			100
Grupo 2 (no expuestos)			100
Total	42	158	200

Resultados

Total de participantes (n)

200

Esperada en a

21.00

bajo independencia

Esperada en b

79.00

bajo independencia

Esperada en c

21.00

bajo independencia

Esperada en d

79.00

bajo independencia

Frecuencia esperada mínima

21.00

regla de Cochran: al menos 5

χ² de Pearson

9.765

1 gl, sin corrección

p (χ² de Pearson)

0.002

1 gl, sin corrección

χ² con corrección de Yates

8.710

1 gl, corrección acotada como en R

p (corrección de Yates)

0.003

1 gl, corrección acotada como en R

χ² «N−1» (Campbell)

9.716

1 gl, χ² × (n − 1)/n

p (variante N−1)

0.002

1 gl, χ² × (n − 1)/n

p (prueba exacta de Fisher, bilateral)

0.003

bilateral «minlike», como fisher.test

Razón de momios condicional (Fisher)

0.32

0.14 a 0.70

IC 95 % · máxima verosimilitud condicional

Coeficiente φ

-0.221

con signo; |φ| = √(χ²/n)

Interpretación

La proporción con el desenlace fue 12.0 % en el grupo 1 frente a 30.0 % en el grupo 2 (n = 200).

Prueba recomendada: la prueba χ² de Pearson sin corrección, p = 0.002. Todas las frecuencias esperadas llegan a 5 y el total es de al menos 20, así que la aproximación χ² es adecuada (regla de Cochran).

p = 0.002; con α = 0.05 se rechaza la hipótesis nula de independencia entre el grupo y el desenlace. La magnitud de la asociación y su intervalo de confianza importan más que el valor p.

φ = -0.221: asociación de magnitud pequeña y negativa (el desenlace es menos frecuente en el grupo 1), según la convención de Cohen (|φ| entre 0.1 y 0.3). Son cortes convencionales, no derivados de la teoría.

Razón de momios condicional: 0.32 (IC 95 %: 0.14 a 0.70). Es la estimación de máxima verosimilitud que acompaña a la prueba exacta de Fisher, la coherente con su valor p. Para la razón de momios habitual (ad/bc) con el intervalo de Woolf, usa la calculadora «Asociación y efecto (tabla 2×2)».

Las tres versiones de la prueba χ² dan: Pearson sin corrección χ² = 9.765 (p = 0.002); con la corrección de Yates χ² = 8.710 (p = 0.003); variante N−1 χ² = 9.716 (p = 0.002). La corrección de Yates es conservadora: baja el estadístico y sube el valor p más de lo necesario, por lo que no se recomienda de forma sistemática. Con frecuencias esperadas pequeñas conviene la prueba exacta de Fisher y, si se prefiere una aproximación, la variante N−1 de Campbell (2007) se acerca mejor al tamaño nominal.

Frecuencias observadas y esperadas bajo independencia, celda por celda

Explicación

Una tabla 2×2 cruza dos variables dicotómicas: aquí, el grupo o la exposición (filas) y el desenlace (columnas). Estas pruebas responden si las dos proporciones observadas son compatibles con la independencia entre ambas variables, es decir, con que el desenlace ocurra con la misma frecuencia en los dos grupos. Bajo esa hipótesis nula cada celda tendría la frecuencia esperada E = (total de su fila) × (total de su columna) / n, y la ji cuadrada de Pearson (1900) mide cuánto se alejan las frecuencias observadas de esas esperadas.

La distribución ji cuadrada es una aproximación y deja de ser fiable con conteos pequeños. La regla de Cochran (1954) pide que todas las frecuencias esperadas lleguen a 5 y que el total sea de al menos 20; por debajo se prefiere la prueba exacta de Fisher, que no aproxima nada: enumera todas las tablas con los mismos totales marginales, calcula la probabilidad hipergeométrica de cada una y suma las que no son más probables que la observada. (Con n menor de 20 la esperada más pequeña nunca llega a 5, porque no puede pasar de n/4: las dos condiciones se enuncian por separado, pero exigir que todas las esperadas lleguen a 5 ya obliga a que n sea al menos 20.)

La corrección de continuidad de Yates (1934) se pensó para acercar la aproximación al resultado exacto, pero es conservadora: produce valores p demasiado grandes. Se muestra aquí porque muchos programas la aplican por omisión, no porque se recomiende. La variante N−1 de Campbell (2007) multiplica la ji cuadrada por (n−1)/n y se acerca mejor al tamaño nominal que las otras dos cuando la esperada mínima está entre 1 y 5. En esta calculadora la corrección de Yates se calcula exactamente como en R, que la acota a min(0.5, |O − E|): si |ad − bc| es menor que n/2, el estadístico corregido queda en 0 en vez de volverse negativo.

Un valor p no mide la fuerza de la asociación; el coeficiente φ (Yule 1912) sí. Es la correlación entre dos variables dicotómicas, va de −1 a +1 y su signo indica la dirección. En una tabla 2×2, |φ| = √(χ²/n), y se lee con la convención de Cohen (1988): 0.1 pequeño, 0.3 mediano, 0.5 grande, siempre con la advertencia de que son cortes convencionales. La razón de momios que acompaña a la prueba de Fisher es la condicional: la que maximiza la verosimilitud de la hipergeométrica no central con los totales marginales fijos, con el intervalo formado por los valores del parámetro que dejan α/2 de probabilidad en cada cola. No es la razón de momios ad/bc de la calculadora «Asociación y efecto (tabla 2×2)», que es la estimación no condicional con el intervalo logarítmico de Woolf; las dos se parecen con conteos grandes y difieren con conteos pequeños.

Ecuaciones

\chi^2=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}=\frac{n\,(ad-bc)^2}{n_1\,n_0\,m_1\,m_0},\qquad E_{ij}=\frac{n_i\,m_j}{n}

$O_{ij}$: frecuencia observada de la celda
$E_{ij}$: frecuencia esperada de la celda bajo independencia
$n_1,\,n_0$: totales de la fila 1 (a + b) y de la fila 2 (c + d)
$m_1,\,m_0$: totales de la columna 1 (a + c) y de la columna 2 (b + d)
$n$: total, a + b + c + d

Ji cuadrada de Pearson (1900) con 1 grado de libertad; en una tabla 2×2 las dos formas son idénticas.

\chi^2_{c,\text{clásica}}=\frac{n\left(\left|ad-bc\right|-\frac{n}{2}\right)^2}{n_1\,n_0\,m_1\,m_0}\qquad\text{frente a}\qquad \chi^2_{c,\mathrm{R}}=\sum_{i,j}\frac{\left(\left|O_{ij}-E_{ij}\right|-k\right)^2}{E_{ij}}

$k=\min\left(0.5,\ \left|O_{11}-E_{11}\right|\right)$: corrección de continuidad acotada, tal como la aplica R

\chi^2_{N-1}=\chi^2\cdot\frac{n-1}{n}

Variante N−1 (Campbell 2007), equivalente a la prueba de dos proporciones con la varianza estimada bajo la hipótesis nula.

\phi=\frac{ad-bc}{\sqrt{n_1\,n_0\,m_1\,m_0}},\qquad \left|\phi\right|=\sqrt{\frac{\chi^2}{n}}

Coeficiente φ (Yule 1912): correlación entre dos variables dicotómicas, entre −1 y +1; el signo da la dirección de la asociación.

P(a')=\frac{\binom{m_1}{a'}\binom{m_0}{n_1-a'}}{\binom{n}{n_1}}

$a'$: valor posible de la celda a con los mismos totales marginales

Probabilidad hipergeométrica de una tabla 2×2 con los cuatro márgenes fijos.

p=\sum_{a'\,:\,P(a')\le P(a)}P(a')

Prueba exacta de Fisher bilateral, versión «minlike»: la suma de las tablas que no son más probables que la observada. Los empates se resuelven con la tolerancia relativa 1 + 10⁻⁷, igual que fisher.test.

Código R

# 2x2 tests of independence: chi-squared (Pearson, Yates, N-1), Fisher's exact test and phi
# Bioestadistica abierta, UDG-CA-1190. Runs as is in R, RStudio or webR; prints the results as JSON at the end.
library(jsonlite)

a <- 12; b <- 88; c <- 30; d <- 70   # rows = group or exposure (1, 2), columns = outcome (yes, no)
nivel <- 0.95                        # confidence level of the conditional odds ratio interval

m <- matrix(c(a, b, c, d), nrow = 2, byrow = TRUE)
n <- sum(m)
esperados <- outer(rowSums(m), colSums(m)) / n   # E_ij = (row i total) * (column j total) / n

chi   <- suppressWarnings(chisq.test(m, correct = FALSE))   # Pearson's chi-squared, 1 df
yates <- suppressWarnings(chisq.test(m, correct = TRUE))    # Yates' correction, bounded to min(0.5, |O - E|) as R does

# "N - 1" chi-squared (Campbell 2007): Pearson's statistic times (n - 1)/n
chi2_n1 <- unname(chi$statistic) * (n - 1) / n
p_n1 <- pchisq(chi2_n1, 1, lower.tail = FALSE)

# Two-sided "minlike" p (sum of the tables no more likely than the observed one) and the
# conditional maximum likelihood odds ratio with its interval (solved by uniroot, tol ~ 1.2e-4)
fisher <- fisher.test(m, conf.level = nivel)

phi <- (a * d - b * c) / sqrt(prod(rowSums(m)) * prod(colSums(m)))   # signed phi coefficient

res <- list(n = n,
            e_a = esperados[1, 1], e_b = esperados[1, 2], e_c = esperados[2, 1], e_d = esperados[2, 2],
            e_min = min(esperados),
            chi2 = unname(chi$statistic), p_chi2 = chi$p.value,
            chi2_yates = unname(yates$statistic), p_yates = yates$p.value,
            chi2_n1 = chi2_n1, p_n1 = p_n1,
            p_fisher = fisher$p.value,
            or_cond = c(unname(fisher$estimate), fisher$conf.int[1], fisher$conf.int[2]),
            phi = phi)
cat(toJSON(res, auto_unbox = TRUE, digits = NA))

# Equivalent in RStudio (not run in the browser):
# exact2x2::exact2x2(m, tsmethod = "minlike")   # same p as fisher.test
# DescTools::Phi(m)

Este es el mismo código que valida la calculadora: cópialo y ejecútalo en R o RStudio para reproducir el resultado.

La verificación con R dentro del navegador llegará en una próxima versión; mientras tanto, copia el código y ejecútalo en RStudio.

Métodos para manuscrito

La asociación entre las dos variables de la tabla 2×2 (Grupo o exposición y Desenlace) se evaluó con la prueba χ² de Pearson [1] (se reportan también la corrección de continuidad de Yates [2] y la variante N−1 [6]) o con la prueba exacta de Fisher bilateral [3,4] cuando alguna frecuencia esperada fue menor de 5 o el total fue menor de 20 (regla de Cochran [5]); en estos datos se recomienda la prueba χ² de Pearson sin corrección. La fuerza de la asociación se resumió con el coeficiente φ [7], leído con la convención de Cohen [8], y con la razón de momios condicional de la prueba de Fisher y su intervalo de confianza al 95 % [4]. Los cálculos se realizaron con la calculadora «Independencia en 2×2 (χ² y Fisher)» de Bioestadística abierta (Cuerpo Académico UDG-CA-1190, https://udgca1190.com.mx/herramientas/bioestadistica/chi-cuadrada-fisher), verificada contra R (chisq.test, fisher.test).

Párrafo listo para la sección de Métodos; los números entre corchetes remiten a la lista de referencias.

Referencias

01 Pearson K. X. On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, Series 5. 1900;50(302):157–175. doi:10.1080/14786440009463897 Fuente original
02 Yates F. Contingency tables involving small numbers and the χ² test. Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society. 1934;1(2):217–235. doi:10.2307/2983604 Fuente original
03 Fisher RA. Statistical Methods for Research Workers. 5.ª ed. Edinburgh: Oliver & Boyd; 1934. Fuente original
04 Fisher RA. The logic of inductive inference. Journal of the Royal Statistical Society. 1935;98(1):39–82. doi:10.2307/2342435 Fuente original
05 Cochran WG. Some methods for strengthening the common χ² tests. Biometrics. 1954;10(4):417–451. doi:10.2307/3001616 Fuente original
06 Campbell I. Chi-squared and Fisher-Irwin tests of two-by-two tables with small sample recommendations. Statistics in Medicine. 2007;26(19):3661–3675. doi:10.1002/sim.2832 PMID: 17315184 Complementaria
07 Yule GU. On the methods of measuring association between two attributes. Journal of the Royal Statistical Society. 1912;75(6):579–652. doi:10.2307/2340126 Fuente original
08 Cohen J. Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences. 2.ª ed. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates; 1988. Lectura didáctica
09 Altman DG. Practical Statistics for Medical Research. London: Chapman & Hall; 1991. Lectura didáctica

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