Intervalo de confianza de una proporción: Wilson, Clopper-Pearson, Agresti-Coull, Jeffreys y Wald

https://udgca1190.com.mx/herramientas/bioestadistica/ic-proporcion

Resultados

Proporción observada

85.0 %

Wilson (score)

85.0 %

75.6 % a 91.2 %

Amplitud del intervalo: 15.6 %

Wilson con corrección de continuidad

85.0 %

74.9 % a 91.7 %

Amplitud del intervalo: 16.8 %

Clopper-Pearson (exacto)

85.0 %

75.3 % a 92.0 %

Amplitud del intervalo: 16.7 %

Agresti-Coull

85.0 %

75.4 % a 91.4 %

Amplitud del intervalo: 15.9 %

Jeffreys

85.0 %

76.0 % a 91.5 %

Amplitud del intervalo: 15.5 %

Wald (asintótico)

85.0 %

77.2 % a 92.8 %

Amplitud del intervalo: 15.6 %

Interpretación

68 de 80 observaciones presentan la característica: 85.0 %. Con 95 % de confianza, la proporción en la población está entre 75.6 % y 91.2 % (método de Wilson, recomendado).

Con n = 80 y una proporción alejada de 0 y de 1, los seis métodos coinciden casi por completo: la amplitud va de 15.5 % a 16.8 % puntos porcentuales. La elección del método apenas cambia la conclusión.

Intervalo de confianza de la proporción según el método

Explicación

Una proporción observada (x de n) es solo una estimación de la proporción en la población. El intervalo de confianza expresa la incertidumbre de esa estimación: si repitiéramos el estudio muchas veces, el 95 % de los intervalos construidos así contendrían la proporción verdadera.

El intervalo de Wald, el que aparece en casi todos los libros de texto, se comporta mal cuando la muestra es pequeña o la proporción se acerca a 0 o a 1: puede salirse de [0, 1] y, con x = 0 o x = n, colapsa a un punto. Por eso la recomendación actual (Newcombe 1998; Brown, Cai y DasGupta 2001) es usar el método de Wilson, o Jeffreys, y reservar Clopper-Pearson para cuando se exige garantía de cobertura.

Esta calculadora muestra los seis métodos a la vez para que se vea dónde coinciden y dónde no; la amplitud de cada intervalo permite compararlos de un vistazo.

Ecuaciones

\hat p \pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}}

$\hat p$: proporción observada, x/n
$z_{1-\alpha/2}$: cuantil normal del nivel de confianza (1.96 al 95 %)
$n$: tamaño de la muestra

Intervalo de Wald (asintótico). Didáctico; no recomendado con n pequeño o proporciones extremas.

\frac{\hat p + \frac{z^2}{2n} \pm z\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n} + \frac{z^2}{4n^2}}}{1 + \frac{z^2}{n}}

Intervalo de Wilson (1927), también llamado «de score». Es el método recomendado por defecto.

\tilde n = n + z^2,\qquad \tilde p = \frac{x + z^2/2}{\tilde n},\qquad \tilde p \pm z\sqrt{\frac{\tilde p\,(1-\tilde p)}{\tilde n}}

Agresti y Coull (1998): un Wald «ajustado» que añade z² pseudo-observaciones (≈ 2 éxitos y 2 fracasos al 95 %).

\left[\, B_{\alpha/2}(x,\; n-x+1),\ \ B_{1-\alpha/2}(x+1,\; n-x) \,\right]

$B_{q}(a, b)$: cuantil q de la distribución beta con parámetros a y b

Clopper y Pearson (1934), «exacto»: garantiza la cobertura nominal a costa de ser conservador. Con x = 0 el límite inferior es 0; con x = n, el superior es 1.

\left[\, B_{\alpha/2}\!\left(x+\tfrac{1}{2},\; n-x+\tfrac{1}{2}\right),\ \ B_{1-\alpha/2}\!\left(x+\tfrac{1}{2},\; n-x+\tfrac{1}{2}\right) \,\right]

Intervalo de Jeffreys de colas iguales (Brown, Cai y DasGupta 2001), con 0 y 1 como límites en los extremos.

L = \frac{2n\hat p + z^2 - 1 - z\sqrt{z^2 - 2 - \frac{1}{n} + 4\hat p\,(n(1-\hat p)+1)}}{2\,(n+z^2)},\qquad U = \frac{2n\hat p + z^2 + 1 + z\sqrt{z^2 + 2 - \frac{1}{n} + 4\hat p\,(n(1-\hat p)-1)}}{2\,(n+z^2)}

Wilson con corrección de continuidad (Newcombe 1998, método 4); L = 0 si x = 0 y U = 1 si x = n.

Código R

# Confidence interval for a proportion (six methods) - Bioestadistica abierta, UDG-CA-1190
# Runs as is in R, RStudio or webR; prints the results as JSON at the end.
library(binom)      # Wilson (default), Clopper-Pearson ("exact"), Agresti-Coull and Wald ("asymptotic")
library(jsonlite)

x <- 68; n <- 80; nivel <- 0.95
alfa <- 1 - nivel; z <- qnorm(1 - alfa / 2); p <- x / n

ic <- function(m) { r <- binom.confint(x, n, conf.level = nivel, methods = m); c(p, r$lower, r$upper) }
wilson          <- ic("wilson")
clopper_pearson <- ic("exact")
agresti_coull   <- ic("agresti-coull")
wald            <- ic("asymptotic")
# Wilson with continuity correction (Newcombe 1998, method 4); 0 and 1 at the boundaries
wcc_lo <- if (x == 0) 0 else max(0, (2 * n * p + z^2 - 1 - z * sqrt(z^2 - 2 - 1 / n + 4 * p * (n * (1 - p) + 1))) / (2 * (n + z^2)))
wcc_hi <- if (x == n) 1 else min(1, (2 * n * p + z^2 + 1 + z * sqrt(z^2 + 2 - 1 / n + 4 * p * (n * (1 - p) - 1))) / (2 * (n + z^2)))
wilson_cc <- c(p, wcc_lo, wcc_hi)
# Jeffreys, equal-tailed (Brown, Cai & DasGupta 2001); binom's "bayes" method is HPD and differs
jeffreys <- c(p, if (x == 0) 0 else qbeta(alfa / 2, x + 0.5, n - x + 0.5),
                 if (x == n) 1 else qbeta(1 - alfa / 2, x + 0.5, n - x + 0.5))

res <- list(p = p, wilson = wilson, wilson_cc = wilson_cc, clopper_pearson = clopper_pearson,
            agresti_coull = agresti_coull, jeffreys = jeffreys, wald = wald)
cat(toJSON(res, auto_unbox = TRUE, digits = NA))

# Equivalent in RStudio (not run in the browser):
# DescTools::BinomCI(x, n, conf.level = nivel, method = c("wilson", "wilsoncc", "clopper-pearson", "agresti-coull", "jeffreys", "wald"))

Este es el mismo código que valida la calculadora: cópialo y ejecútalo en R o RStudio para reproducir el resultado.

La verificación con R dentro del navegador llegará en una próxima versión; mientras tanto, copia el código y ejecútalo en RStudio.

Métodos para manuscrito

El intervalo de confianza al 95 % de la proporción (68/80 = 85.0 %) se calculó con el método de Wilson [1,4]: 75.6 % a 91.2 %. Los métodos alternativos (Clopper-Pearson [2], Agresti-Coull [3], Jeffreys [5]) se calcularon con fines comparativos. Los cálculos se realizaron con la calculadora «IC de una proporción» de Bioestadística abierta (Cuerpo Académico UDG-CA-1190, https://udgca1190.com.mx/herramientas/bioestadistica/ic-proporcion), verificada contra R (paquete binom).

Párrafo listo para la sección de Métodos; los números entre corchetes remiten a la lista de referencias.

Referencias

01 Wilson EB. Probable inference, the law of succession, and statistical inference. Journal of the American Statistical Association. 1927;22(158):209–212. doi:10.1080/01621459.1927.10502953 Fuente original
02 Clopper CJ, Pearson ES. The use of confidence or fiducial limits illustrated in the case of the binomial. Biometrika. 1934;26(4):404–413. doi:10.1093/biomet/26.4.404 Fuente original
03 Agresti A, Coull BA. Approximate is better than “exact” for interval estimation of binomial proportions. The American Statistician. 1998;52(2):119–126. doi:10.1080/00031305.1998.10480550 Fuente original
04 Newcombe RG. Two-sided confidence intervals for the single proportion: comparison of seven methods. Statistics in Medicine. 1998;17(8):857–872. doi:10.1002/(SICI)1097-0258(19980430)17:8<857::AID-SIM777>3.0.CO;2-E PMID: 9595616 Fuente original
05 Brown LD, Cai TT, DasGupta A. Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science. 2001;16(2):101–133. doi:10.1214/ss/1009213286 Complementaria
06 Altman DG, Machin D, Bryant TN, Gardner MJ. Statistics with Confidence: Confidence Intervals and Statistical Guidelines. 2.ª ed. London: BMJ Books; 2000. Lectura didáctica

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