Proporciones pareadas: prueba de McNemar, diferencia pareada y OR pareado

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Prueba A (o antes)	Prueba B (o después)		Total
Prueba A (o antes)	Positivo	Negativo	Total
Positivo			55
Negativo			95
Total	45	105	150

Positivo en ambas (a)
Positivo en A, negativo en B (b) Pares en los que la primera medición fue positiva y la segunda, negativa.
Negativo en A, positivo en B (c) Pares en los que la primera medición fue negativa y la segunda, positiva.
Negativo en ambas (d)

Método del IC de la diferencia pareada

Wald es el intervalo habitual. Agresti-Min (2005) tiene mejor cobertura con pocos pares o cuando la diferencia se acerca a ±1.

Nivel de confianza

Ejemplo cargado

Ejemplo ilustrativo: dos pruebas rápidas aplicadas a los mismos 150 pacientes; 40 pares salieron positivos con ambas, 15 solo con la prueba A, 5 solo con la B y 90 negativos con ambas (datos ficticios).

Datos ilustrativos, no reales.

Resultados

Pares analizados (n)

150

Pares discordantes (b + c)

los únicos que entran en la prueba

Positivos con la prueba A

36.7 %

Positivos con la prueba B

30.0 %

χ² de McNemar (sin corrección)

5.000

1 grado de libertad · sin corrección

p de la χ² sin corrección

0.025

1 grado de libertad · sin corrección

χ² con corrección de Edwards

4.050

1 grado de libertad · corrección de Edwards

p de la χ² con corrección de Edwards

0.044

1 grado de libertad · corrección de Edwards

p de la prueba exacta (binomial)

0.041

binomial bilateral sobre b + c

Diferencia pareada (b − c)/n, en puntos porcentuales

6.7

0.9 a 12.4

IC 95 % · Wald

OR pareado (b/c)

3.00

1.04 a 10.55

IC 95 % · derivado de Clopper-Pearson

Interpretación

Entre los 150 pares, 15 cambiaron en una dirección y 5 en la otra: la prueba A fue positiva en 36.7 % y la B en 30.0 % (diferencia 6.7 puntos porcentuales, IC 95 %: 0.9 a 12.4).

Los cambios fueron más frecuentes en la dirección A+ / B− (15 pares frente a 5): la prueba A resultó positiva con más frecuencia que la B.

Prueba de McNemar exacta (binomial bilateral sobre los 20 pares discordantes): p = 0.041.

p = 0.041; con α = 0.05 se rechaza la hipótesis nula de que las dos mediciones dan la misma proporción de positivos. La magnitud del cambio (6.7 puntos porcentuales, IC 95 %: 0.9 a 12.4) importa más que el valor p.

OR pareado b/c = 3.00 (IC 95 %: 1.04 a 10.55): los cambios en una dirección (15 pares) fueron 3.00 veces más frecuentes que los contrarios (5 pares).

Las tres versiones de la prueba sobre los mismos 20 pares discordantes: χ² sin corrección = 5.000 (p = 0.025); χ² con corrección de Edwards = 4.050 (p = 0.044); binomial exacta, p = 0.041. Aquí se reporta la prueba exacta binomial.

Solo hay 20 pares discordantes (menos de 25): se reporta la prueba exacta binomial como principal, porque con tan pocos la aproximación χ² es poco fiable.
La prueba usa solo los pares discordantes (20): los pares en los que ambas mediciones coincidieron no aportan información sobre el cambio.

Pares discordantes en cada dirección, con la línea del reparto esperado bajo la hipótesis nula

Explicación

Cuando las dos proporciones que se comparan provienen de los mismos sujetos (dos pruebas aplicadas al mismo paciente, o la misma medición antes y después), las observaciones vienen en pares y no son independientes. La tabla 2×2 ya no cuenta personas por grupo: cuenta pares. En las casillas a y d están los pares en que ambas mediciones coincidieron (concordantes) y en b y c, aquellos en que discreparon (discordantes).

La prueba de McNemar (1947) solo mira los pares discordantes: si las dos mediciones fueran equivalentes, un cambio en una dirección sería tan probable como el contrario, es decir, b y c serían dos mitades de b + c. Los concordantes no aportan información sobre el cambio y por eso no entran en el estadístico; añadir cien pares concordantes no modifica ni χ² ni el valor p. La versión clásica compara (b − c)²/(b + c) con una χ² de un grado de libertad; la corrección de continuidad de Edwards (1948) le resta 1 a |b − c| antes de elevar al cuadrado, y la versión exacta calcula directamente la probabilidad binomial de observar un reparto al menos tan extremo. Con menos de 25 pares discordantes se reporta la exacta; a partir de 25, la χ² corregida.

El valor p dice si el cambio es distinguible del azar, no cuánto cambió. La magnitud está en la diferencia de proporciones pareadas, δ = (b − c)/n, que se lee en puntos porcentuales sobre el total de pares. Su intervalo de Wald es el habitual y funciona bien con muchos pares; con pocos, o cuando δ se acerca a ±1, el intervalo de Agresti y Min (2005) —equivalente a sumar media observación a cada celda y recortar el resultado a [−1, 1]— tiene mejor cobertura. La estimación puntual que se reporta es siempre (b − c)/n; lo que cambia con el selector es el intervalo.

El OR pareado b/c resume la asimetría del cambio en escala de razón: cuántas veces más frecuentes fueron los cambios en una dirección que en la contraria. Su intervalo se obtiene llevando el intervalo de Clopper-Pearson de la proporción b/(b + c) a la escala de momios. Cuando b o c valen 0 la razón queda en 0 o en infinito y deja de leerse como «tantas veces más»; cuando no hay ningún par discordante, ni la prueba ni el OR están definidos.

Ecuaciones

\chi^2=\frac{(b-c)^2}{b+c}\ \sim\ \chi^2_{1}

$b$: pares positivos en la primera medición y negativos en la segunda, (+,−)
$c$: pares negativos en la primera y positivos en la segunda, (−,+)
$b+c$: pares discordantes; los concordantes a y d no entran

Estadístico de McNemar (1947) sin corrección, con un grado de libertad.

\chi^2_{c}=\frac{(\lvert b-c\rvert-1)^2}{b+c}

Corrección de continuidad de Edwards (1948). Como en `mcnemar.test(correct = TRUE)`, no se aplica cuando b = c (el estadístico queda en 0); con b + c = 0 no está definida.

p_{\mathrm{exacta}}=\min\!\left(1,\ 2\sum_{k=0}^{\min(b,\,c)}\binom{b+c}{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{b+c}\right)

$k$: número de cambios en una dirección bajo la hipótesis nula

Prueba binomial bilateral sobre los pares discordantes, con p = 1/2 bajo la hipótesis nula.

\hat\delta=\frac{b-c}{n},\qquad \se(\hat\delta)=\frac{\sqrt{(b+c)-(b-c)^2/n}}{n}

$\hat\delta$: diferencia de proporciones pareadas
$n$: total de pares, a + b + c + d

Diferencia pareada con su error estándar de Wald; el intervalo es δ ± z·SE(δ).

\tilde\delta=\frac{b-c}{n+2},\qquad \se(\tilde\delta)=\frac{\sqrt{(b+c+1)-(b-c)^2/(n+2)}}{n+2}

$\tilde\delta$: estimador ajustado que centra el intervalo (media observación por celda)

Intervalo de Agresti y Min (2005): δ̃ ± z·SE(δ̃), recortado a [−1, 1]. El valor reportado sigue siendo (b − c)/n.

\OR_{\mathrm{pareado}}=\frac{b}{c},\qquad \IC=\left[\frac{\pi_{L}}{1-\pi_{L}},\ \frac{\pi_{U}}{1-\pi_{U}}\right]

$\pi_{L},\ \pi_{U}$: límites de Clopper-Pearson de la proporción b/(b + c)

Razón de momios pareada y su intervalo llevado de la escala de proporción a la de momios.

Código R

# McNemar test for paired proportions - Bioestadistica abierta, UDG-CA-1190
# Runs as is in R, RStudio or webR; prints the results as JSON at the end.
library(jsonlite)

# Rows = first measurement (test A, or "before"), columns = second one (test B, or "after").
# a = (+,+) and d = (-,-) are the concordant pairs; b = (+,-) and c = (-,+), the discordant ones.
a <- 40; b <- 15; c <- 5; d <- 90
metodo_delta <- "wald"   # CI for the paired difference: "wald" or "agresti-min"
nivel <- 0.95
x <- matrix(c(a, b, c, d), nrow = 2, byrow = TRUE)
n <- a + b + c + d
n_disc <- b + c        # only the discordant pairs carry information about change
z <- qnorm(1 - (1 - nivel) / 2)

p_a <- (a + b) / n     # proportion positive with the first measurement
p_b <- (a + c) / n     # proportion positive with the second one

# McNemar's chi-squared with 1 df, without and with Edwards' (1948) continuity
# correction. Note that mcnemar.test() skips the correction when b == c, and
# that both statistics (and their p values) are NaN when b + c = 0.
mc  <- mcnemar.test(x, correct = FALSE)
mce <- mcnemar.test(x, correct = TRUE)

# Exact two-sided binomial test on the discordant pairs (exact McNemar)
p_exacta <- if (n_disc > 0) binom.test(b, n_disc, p = 0.5)$p.value else NA_real_

# Paired difference. The point estimate is always (b - c)/n; only the interval
# changes with `metodo_delta`.
est <- (b - c) / n
if (metodo_delta == "agresti-min") {
  # Agresti & Min (2005): interval centred on the adjusted estimator (b - c)/(n + 2)
  # and clipped to [-1, 1], as in PropCIs::diffpropci.mp (which reports (c - b)/n).
  est_am <- (b - c) / (n + 2)
  se_am <- sqrt((b + c + 1) - (b - c)^2 / (n + 2)) / (n + 2)
  ll <- max(-1, est_am - z * se_am)
  ul <- min(1, est_am + z * se_am)
  delta <- c(est, ll, ul)
} else {
  se <- sqrt((b + c) - (b - c)^2 / n) / n
  delta <- c(est, est - z * se, est + z * se)
}

# Paired odds ratio b/c: the Clopper-Pearson interval for b/(b + c) carried to
# the odds scale, p/(1 - p). Undefined (NA) without discordant pairs.
or_pareado <- if (n_disc > 0) {
  alpha <- 1 - nivel
  pl <- if (b == 0) 0 else qbeta(alpha / 2, b, c + 1)
  pu <- if (c == 0) 1 else qbeta(1 - alpha / 2, b + 1, c)
  c(b / c, pl / (1 - pl), pu / (1 - pu))
} else c(NA, NA, NA)

res <- list(n = n, n_disc = n_disc, p_a = p_a, p_b = p_b,
            chi2 = unname(mc$statistic), p_chi2 = mc$p.value,
            chi2_edwards = unname(mce$statistic), p_edwards = mce$p.value,
            p_exacta = p_exacta, delta = delta, or_pareado = or_pareado)
cat(toJSON(res, auto_unbox = TRUE, digits = NA))

# Equivalent in RStudio (not run in the browser):
# exact2x2::mcnemar.exact(x)
# PropCIs::diffpropci.Wald.mp(b, c, n, nivel)   # note: PropCIs reports (c - b)/n

Este es el mismo código que valida la calculadora: cópialo y ejecútalo en R o RStudio para reproducir el resultado.

La verificación con R dentro del navegador llegará en una próxima versión; mientras tanto, copia el código y ejecútalo en RStudio.

Métodos para manuscrito

Las proporciones pareadas se compararon con la prueba de McNemar [1] (versión exacta binomial cuando hubo menos de 25 pares discordantes; en caso contrario, χ² con corrección de continuidad de Edwards [2]); en estos datos se reporta la prueba exacta binomial. La diferencia de proporciones pareadas se acompañó de su IC 95 % de Wald y el OR pareado, del intervalo derivado del de Clopper-Pearson [5] de b/(b + c). Los cálculos se realizaron con la calculadora «Prueba de McNemar (pareadas)» de Bioestadística abierta (Cuerpo Académico UDG-CA-1190, https://udgca1190.com.mx/herramientas/bioestadistica/mcnemar), verificada contra R (stats).

Párrafo listo para la sección de Métodos; los números entre corchetes remiten a la lista de referencias.

Referencias

01 McNemar Q. Note on the sampling error of the difference between correlated proportions or percentages. Psychometrika. 1947;12(2):153–157. doi:10.1007/BF02295996 PMID: 20254758 Fuente original
02 Edwards AL. Note on the “correction for continuity” in testing the significance of the difference between correlated proportions. Psychometrika. 1948;13(3):185–187. doi:10.1007/BF02289261 PMID: 18885738 Fuente original
03 Agresti A, Min Y. Simple improved confidence intervals for comparing matched proportions. Statistics in Medicine. 2005;24(5):729–740. doi:10.1002/sim.1781 PMID: 15696504 Fuente original
04 Newcombe RG. Improved confidence intervals for the difference between binomial proportions based on paired data. Statistics in Medicine. 1998;17(22):2635–2650. doi:10.1002/(SICI)1097-0258(19981130)17:22<2635::AID-SIM954>3.0.CO;2-C PMID: 9839354 Complementaria
05 Clopper CJ, Pearson ES. The use of confidence or fiducial limits illustrated in the case of the binomial. Biometrika. 1934;26(4):404–413. doi:10.1093/biomet/26.4.404 Complementaria
06 Fleiss JL, Levin B, Paik MC. Statistical Methods for Rates and Proportions. 3.ª ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons; 2003. doi:10.1002/0471445428 Lectura didáctica
07 Altman DG. Practical Statistics for Medical Research. London: Chapman & Hall; 1991. Lectura didáctica