Media y desviación estándar a partir de la mediana, el rango o el rango intercuartílico

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Estadísticos reportados

Elige qué estadísticos trae el artículo: solo el rango, solo el rango intercuartílico, o los cinco números. Los campos que el escenario no usa se ignoran en el cálculo, aunque los dejes escritos.

Número de participantes (n)

Número de participantes con dato válido en esa variable (entero de 2 o más; los cuartiles necesitan al menos 4).

Mínimo

Valor más bajo reportado.

Primer cuartil (Q₁)

Percentil 25 reportado.

Mediana

Percentil 50 reportado.

Tercer cuartil (Q₃)

Percentil 75 reportado.

Máximo

Valor más alto reportado.

Ejemplo cargado

Ejemplo ilustrativo: días de fiebre en 45 pacientes, mediana 6 (rango intercuartílico 4 a 9) y rango de 2 a 21 (datos ficticios).

Datos ilustrativos, no reales.

Resultados

Media estimada (Luo 2018)

6.924

recomendado

Media estimada (Wan 2014)

7.625

Media estimada (Hozo 2005)

DE estimada (Wan 2014)

4.071

recomendado

DE estimada (Hozo 2005)

4.75

Cociente de asimetría del rango

3.75

1 = resumen simétrico

Cociente de asimetría del intercuartílico

1.5

1 = resumen simétrico

Interpretación

A partir de una mediana de 6, un rango intercuartílico de 4 a 9 y un rango de 2 a 21 en 45 participantes, la media estimada es 6.924 (Luo 2018) y la desviación estándar 4.071 (Wan 2014).

Los tres métodos estiman medias de 6.924 (Luo), 7.625 (Wan) y 6 (Hozo), y las desviaciones estándar son 4.071 (Wan) y 4.75 (Hozo). Cuanto más se separen entre sí, más incertidumbre añade la propia conversión.

Los cocientes de asimetría del resumen (3.75 para el rango y 1.5 para el intercuartílico) se alejan de 1: la distribución parece asimétrica y las fórmulas, que suponen normalidad, pueden sesgar la media y sobre todo la desviación estándar.

Use estas cifras solo para metaanálisis o comparaciones aproximadas: son estimaciones derivadas de un resumen publicado, no los estadísticos originales del estudio, y conviene declararlo en los métodos.

El resumen reportado es claramente asimétrico: las fórmulas suponen normalidad y el resultado puede sesgarse (Cochrane Handbook §6.5.2.5 y §6.5.2.6).

Resumen reportado, medias estimadas y distribución normal implícita

Explicación

Muchos estudios describen sus variables continuas con la mediana y el rango intercuartílico, que es lo correcto cuando la distribución es asimétrica. El problema aparece al hacer un metaanálisis: la mayoría de los métodos de síntesis necesitan media y desviación estándar. Estas fórmulas convierten un resumen en el otro sin tener los datos crudos.

Las tres propuestas suponen que los datos proceden de una distribución aproximadamente normal y usan el tamaño de la muestra para calibrar la conversión. Hozo et al. (2005) fue la primera y funciona por tramos de n, con saltos bruscos en n = 15, 25 y 70. Wan et al. (2014) corrigió esos saltos dividiendo el rango observado entre el rango que cabría esperar de una normal del mismo tamaño. Luo et al. (2018) afinó la media con pesos óptimos que dependen del escenario: solo en S1 la estimación tiende a la propia mediana al crecer n; en S2 y S3 los pesos convergen a 0.70 y la estimación se queda cerca del punto medio del rango intercuartílico.

Por eso la calculadora muestra los tres a la vez. Si coinciden, la conversión es estable y cualquiera sirve; si difieren mucho, esa diferencia es incertidumbre real que conviene explorar en un análisis de sensibilidad. La práctica habitual en síntesis de evidencia es usar la media de Luo y la desviación estándar de Wan, y reservar Hozo como comparación histórica; el Cochrane Handbook (§6.5.2.5) respalda la conversión desde el rango intercuartílico y (§6.5.2.6) desaconseja hacerla desde el rango, así que el escenario S1, con solo mínimo y máximo, debe leerse con más cautela que S2 y S3.

El cociente de asimetría del propio resumen es el control de calidad: si (máx − mediana)/(mediana − mín) o (Q₃ − mediana)/(mediana − Q₁) se alejan mucho de 1, la distribución no parece simétrica y la conversión puede sesgar la media y, sobre todo, la desviación estándar. En ese caso vale la pena reportar el resultado como aproximado o buscar los datos originales.

Ecuaciones

\begin{aligned} \text{S1:}\ \ \bar x &\approx w_1\,\frac{a+b}{2} + (1-w_1)\,m, \qquad w_1 = \frac{4}{4+n^{0.75}} \\ \text{S2:}\ \ \bar x &\approx w_2\,\frac{q_1+q_3}{2} + (1-w_2)\,m, \qquad w_2 = 0.70 + \frac{0.39}{n} \\ \text{S3:}\ \ \bar x &\approx w_3\,\frac{a+b}{2} + w_4\,\frac{q_1+q_3}{2} + (1-w_3-w_4)\,m \\ &\qquad w_3 = \frac{2.2}{2.2+n^{0.75}}, \qquad w_4 = 0.70 - \frac{0.72}{n^{0.55}} \end{aligned}

$a$: valor mínimo reportado
$m$: mediana reportada
$b$: valor máximo reportado
$q_1,\ q_3$: primer y tercer cuartiles reportados
$n$: número de participantes del estudio

Media estimada por Luo et al. (2018). Los pesos se obtuvieron minimizando el error cuadrático medio bajo normalidad. Al crecer n, w₁ y w₃ tienden a 0 y la media de S1 se acerca a la mediana; w₂ y w₄, en cambio, tienden a 0.70, así que S2 y S3 convergen a 0.70·(q₁+q₃)/2 + 0.30·m.

\bar x \approx \begin{cases} \dfrac{a+2m+b}{4} & \text{S1} \\ \dfrac{q_1+m+q_3}{3} & \text{S2} \\ \dfrac{a+2q_1+2m+2q_3+b}{8} & \text{S3} \end{cases}

Media estimada por Wan et al. (2014): promedios ponderados de los estadísticos reportados, sin dependencia de n.

\begin{gathered} s \approx \begin{cases} \dfrac{b-a}{\xi(n)} & \text{S1} \\ \dfrac{q_3-q_1}{\eta(n)} & \text{S2} \\ \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{b-a}{\xi(n)} + \dfrac{q_3-q_1}{\eta(n)}\right] & \text{S3} \end{cases} \\ \xi(n) = 2\,\Phi^{-1}\!\left(\frac{n-0.375}{n+0.25}\right), \qquad \eta(n) = 2\,\Phi^{-1}\!\left(\frac{0.75n-0.125}{n+0.25}\right) \end{gathered}

$\xi(n)$: rango esperado de n valores de una normal estándar
$\eta(n)$: rango intercuartílico esperado de n valores de una normal estándar
$\Phi^{-1}$: cuantil de la distribución normal estándar

Desviación estándar estimada por Wan et al. (2014): el rango (o el intercuartílico) observado dividido entre el que cabría esperar de una normal del mismo tamaño.

\begin{gathered} \bar x \approx \begin{cases} \dfrac{a+2m+b}{4} & n \le 25 \\ m & n > 25 \end{cases} \\ s \approx \begin{cases} \sqrt{\dfrac{1}{12}\left[\dfrac{(a-2m+b)^2}{4} + (b-a)^2\right]} & n \le 15 \\ \dfrac{b-a}{4} & 15 < n \le 70 \\ \dfrac{b-a}{6} & n > 70 \end{cases} \end{gathered}

Hozo et al. (2005), la propuesta original: funciona por tramos de n y solo con el mínimo y el máximo. Los saltos entre tramos son discontinuos, que es justo lo que corrigió Wan et al. (2014).

Código R

# Mean and SD from median, range or IQR (Luo 2018, Wan 2014, Hozo 2005) - Bioestadistica abierta, UDG-CA-1190
# Runs as is in R, RStudio or webR; prints the results as JSON at the end.
library(jsonlite)

escenario <- "s3"   # "s1" = min, median, max; "s2" = Q1, median, Q3; "s3" = the five numbers
n <- 45
a <- 2; q1 <- 4; m <- 6; q3 <- 9; b <- 21   # NA where the scenario does not use them

# Mean - Luo et al. 2018, with the optimal weights of each scenario
if (escenario == "s1") {
  w1 <- 4/(4 + n^0.75)
  media_luo <- w1*(a + b)/2 + (1 - w1)*m
} else if (escenario == "s2") {
  w2 <- 0.70 + 0.39/n
  media_luo <- w2*(q1 + q3)/2 + (1 - w2)*m
} else {
  w3 <- 2.2/(2.2 + n^0.75)
  w4 <- 0.70 - 0.72/n^0.55
  media_luo <- w3*(a + b)/2 + w4*(q1 + q3)/2 + (1 - w3 - w4)*m
}

# Mean - Wan et al. 2014
media_wan <- switch(escenario,
                    s1 = (a + 2*m + b)/4,
                    s2 = (q1 + m + q3)/3,
                    s3 = (a + 2*q1 + 2*m + 2*q3 + b)/8)

# SD - Wan et al. 2014: expected range xi(n) and expected IQR eta(n) of n standard normal values
xi  <- 2*qnorm((n - 0.375)/(n + 0.25))
eta <- 2*qnorm((0.75*n - 0.125)/(n + 0.25))
de_wan <- switch(escenario,
                 s1 = (b - a)/xi,
                 s2 = (q3 - q1)/eta,
                 s3 = ((b - a)/xi + (q3 - q1)/eta)/2)

# Hozo et al. 2005, by ranges of n; it needs the minimum and the maximum, so it does not apply to S2
if (escenario == "s2") {
  media_hozo <- NA_real_
  de_hozo <- NA_real_
} else {
  media_hozo <- if (n <= 25) (a + 2*m + b)/4 else m
  de_hozo <- if (n <= 15) sqrt(((a - 2*m + b)^2/4 + (b - a)^2)/12) else if (n <= 70) (b - a)/4 else (b - a)/6
}

# Skewness of the reported summary itself: 1 means a symmetric summary
asim_rango <- if (escenario == "s2") NA_real_ else (b - m)/(m - a)
asim_iqr   <- if (escenario == "s1") NA_real_ else (q3 - m)/(m - q1)

res <- list(media_luo = media_luo, media_wan = media_wan, media_hozo = media_hozo,
            de_wan = de_wan, de_hozo = de_hozo, asim_rango = asim_rango, asim_iqr = asim_iqr)
cat(toJSON(res, auto_unbox = TRUE, digits = NA))

# No CRAN package on the browser list implements these; estmeansd::qe.mean.sd is an alternative in RStudio

Este es el mismo código que valida la calculadora: cópialo y ejecútalo en R o RStudio para reproducir el resultado.

La verificación con R dentro del navegador llegará en una próxima versión; mientras tanto, copia el código y ejecútalo en RStudio.

Métodos para manuscrito

La media y la desviación estándar no reportadas se estimaron a partir de la mediana, el rango intercuartílico y el rango en 45 participantes con los métodos de Luo et al. [3] y Wan et al. [2] (y de Hozo et al. [1] como comparación); el Cochrane Handbook [4] recoge la conversión a partir del rango intercuartílico (§6.5.2.5) y desaconseja estimar la DE a partir del rango (§6.5.2.6). La media estimada fue 6.924 y la desviación estándar 4.071. Los cálculos se realizaron con la calculadora «Media y DE desde la mediana» de Bioestadística abierta (Cuerpo Académico UDG-CA-1190, https://udgca1190.com.mx/herramientas/bioestadistica/media-desde-mediana), verificada contra R.

Párrafo listo para la sección de Métodos; los números entre corchetes remiten a la lista de referencias.

Referencias

01 Hozo SP, Djulbegovic B, Hozo I. Estimating the mean and variance from the median, range, and the size of a sample. BMC Medical Research Methodology. 2005;5:13. doi:10.1186/1471-2288-5-13 PMID: 15840177 Fuente original
02 Wan X, Wang W, Liu J, Tong T. Estimating the sample mean and standard deviation from the sample size, median, range and/or interquartile range. BMC Medical Research Methodology. 2014;14:135. doi:10.1186/1471-2288-14-135 PMID: 25524443 Fuente original
03 Luo D, Wan X, Liu J, Tong T. Optimally estimating the sample mean from the sample size, median, mid-range, and/or mid-quartile range. Statistical Methods in Medical Research. 2018;27(6):1785–1805. doi:10.1177/0962280216669183 PMID: 27683581 Fuente original
04 Higgins JPT, Thomas J, Chandler J, Cumpston M, Li T, Page MJ, Welch VA. Cochrane Handbook for Systematic Reviews of Interventions. 2.ª ed. Chichester: John Wiley & Sons; 2019. doi:10.1002/9781119536604 Lectura didáctica
05 Altman DG. Practical Statistics for Medical Research. London: Chapman & Hall; 1991. Lectura didáctica