Tamaño de muestra para comparar dos proporciones independientes (fórmula de Fleiss)

https://udgca1190.com.mx/herramientas/bioestadistica/muestra-dos-proporciones

Entradas

Proporción esperada en el grupo 1 (p₁)

Proporción del desenlace que esperas en el primer grupo (control o tratamiento habitual). Tómala de estudios previos o de un piloto.

Proporción esperada en el grupo 2 (p₂)

Proporción que esperas en el segundo grupo. La diferencia entre p₁ y p₂ es lo que más pesa en el tamaño de muestra.

Nivel de significación (α)

Probabilidad de declarar una diferencia que no existe. Escríbelo como decimal (0.05, no 5).

Lateralidad de la prueba

Bilateral detecta diferencias en cualquier sentido y es lo habitual. La unilateral pide menos participantes, pero debe justificarse antes de ver los datos.

Poder (1 − β)

Probabilidad de detectar la diferencia si de verdad existe. Lo convencional es 0.80; 0.90 o 0.95 para estudios de confirmación.

Razón de asignación (r = n₂/n₁)

Participantes del grupo 2 por cada uno del grupo 1. Con 1 los grupos son iguales, que es el reparto más eficiente; con 2 hay el doble en el grupo 2.

Corrección de continuidad

Pérdidas previstas

Proporción de participantes que esperas perder durante el seguimiento. El total a reclutar se divide entre 1 menos esta cifra.

Participantes disponibles en el grupo 1 (modo inverso)

Modo inverso: si ya sabes a cuánta gente puedes estudiar en el grupo 1, escríbelo aquí y verás qué poder alcanzas. Déjalo en 0 para no usarlo.

Ejemplo cargado

Ejemplo ilustrativo: ensayo clínico que compara dos tratamientos en pacientes con dengue con signos de alarma; se espera una curación del 70 % con el tratamiento habitual y del 85 % con el nuevo, con α = 0.05 bilateral, poder del 80 %, grupos iguales y un 10 % de pérdidas previstas (datos ficticios).

Datos ilustrativos, no reales.

Resultados

z de α (z₁₋α/₂)

1.960

z del poder (z₁₋β)

0.842

n₁ de Fleiss sin corrección

121

fórmula de Fleiss · exacto 120.47

n₂ de Fleiss sin corrección

121

fórmula de Fleiss · exacto 120.47

n₁ con corrección de continuidad

134

Fleiss, Tytun y Ury · exacto 133.47

n₂ con corrección de continuidad

134

Fleiss, Tytun y Ury · exacto 133.47

Participantes en el grupo 1 (n₁)

134

cifra reportada · exacto 133.47

Participantes en el grupo 2 (n₂)

134

cifra reportada · exacto 133.47

Total a estudiar

268

suma de los dos grupos redondeados · exacto 266.94

Total a reclutar con las pérdidas previstas

298

suma de los dos grupos redondeados · exacto 296.61

Comparación: power.prop.test de R

121

solo con grupos iguales · exacto 120.47

h de Cohen (transformación arcoseno)

-0.364

Comparación: pwr::pwr.2p.test a partir de h

119

solo con grupos iguales · exacto 118.55

Poder alcanzable con los participantes disponibles

No aplica

sin corrección de continuidad

Interpretación

Para detectar una proporción de 70.0 % frente a una de 85.0 % con un poder de 80 % y α = 0.05 (bilateral) se requieren 134 participantes en el grupo 1 y 134 en el grupo 2, 268 en total.

La cifra reportada lleva la corrección de continuidad de Fleiss, Tytun y Ury, que aproxima lo que pedirá la prueba exacta de Fisher: 134 y 134 participantes. Sin corregir, la fórmula de Fleiss —que aproxima la χ² de Pearson— pediría 121 y 121. Reporta la que corresponda a la prueba que vas a usar.

Con grupos iguales, power.prop.test de R resuelve la misma ecuación sin corregir y devuelve 121 por grupo. La alternativa de Cohen parte de la transformación arcoseno: h = -0.364 y 119 por grupo. Son dos aproximaciones al mismo problema, así que una diferencia de unos pocos participantes es normal.

Previendo un 10 % de pérdidas durante el seguimiento, el objetivo de reclutamiento sube a 298 participantes en total, 149 y 149 por grupo.

Si ya sabes a cuánta gente puedes estudiar, escribe ese número en el campo de participantes disponibles y la calculadora dirá qué poder alcanzas con él.

Las cifras dependen por completo de las proporciones que supusiste: tómalas de estudios previos, de un piloto o de la diferencia mínima clínicamente importante, y documenta su origen en Métodos. Un cambio pequeño en la diferencia esperada cambia mucho el tamaño de muestra.

Poder de la prueba frente al número de participantes del grupo 1, con el tamaño requerido y el poder objetivo marcados

Explicación

Antes de un ensayo o de un estudio comparativo hay que decidir a cuánta gente se va a estudiar. La pregunta que responde esta calculadora es: si el desenlace ocurre en una proporción p₁ de un grupo y en una proporción p₂ del otro, ¿cuántos participantes necesito en cada grupo para que la prueba estadística detecte esa diferencia con la probabilidad que yo exijo? Esa probabilidad es el poder, y la probabilidad de declarar una diferencia que no existe es α.

La fórmula clásica es la de Fleiss: suma el error tolerado bajo la hipótesis nula (la varianza agrupada, con las dos proporciones mezcladas) y el que se tolera bajo la hipótesis alternativa (las dos varianzas por separado), y divide todo entre el cuadrado de la diferencia que se quiere detectar. Lo que manda es esa diferencia: pasar de 0.70 a 0.85 pide unos cientos de participantes; pasar de 0.70 a 0.72 pide decenas de miles.

La corrección de continuidad de Fleiss, Tytun y Ury añade un margen porque la variable real es discreta (se cuentan personas) y la fórmula usa una curva continua. El tamaño corregido aproxima lo que pedirá la prueba exacta de Fisher; el tamaño sin corregir, lo que pedirá la χ² de Pearson. Reporta el que corresponda a la prueba que vas a usar y dilo en Métodos; aquí se muestran los dos.

La razón de asignación r = n₂/n₁ permite grupos desiguales (por ejemplo dos controles por caso). Repartir por mitades siempre da el total más pequeño: cualquier otro reparto exige más participantes en total para el mismo poder. Las pérdidas previstas se cubren dividiendo entre 1 − L al final, y el redondeo hacia arriba se aplica una sola vez, por grupo, porque no se recluta a media persona.

Todas estas cifras dependen por completo de las proporciones que supongas. No son datos: son una apuesta informada que debe venir de estudios previos, de un piloto o de la diferencia mínima que consideres clínicamente importante. Documenta de dónde salieron; un tamaño de muestra sin esa justificación no es reproducible.

Ecuaciones

n_1=\frac{\left[z_{1-\alpha/k}\sqrt{(r+1)\,\bar p\,\bar q}+z_{1-\beta}\sqrt{r\,p_1q_1+p_2q_2}\right]^2}{r\,(p_1-p_2)^2},\qquad \bar p=\frac{p_1+r\,p_2}{r+1},\qquad \bar q=1-\bar p,\qquad n_2=r\,n_1

$p_1,\ p_2$: proporciones esperadas en el grupo 1 y en el grupo 2
$q_1=1-p_1$: complemento de p₁ (y q₂ = 1 − p₂)
$r=n_2/n_1$: razón de asignación entre los dos grupos
$\bar p$: proporción agrupada bajo la hipótesis nula
$z_{1-\alpha/k}$: cuantil normal del nivel de significación
$k$: 2 si el contraste es bilateral, 1 si es unilateral
$z_{1-\beta}$: cuantil normal del poder

Fórmula de Fleiss sin corrección de continuidad, válida para cualquier razón de asignación. Con r = 1 es exactamente lo que resuelve power.prop.test de R, porque (p₁ + p₂)(1 − (p₁ + p₂)/2) = 2p̄q̄.

n_1'=\frac{n_1}{4}\left[1+\sqrt{1+\frac{2(r+1)}{r\,n_1\,\lvert p_1-p_2\rvert}}\right]^2,\qquad n_2'=r\,n_1'

$n_1$: tamaño sin corregir que da la ecuación anterior

Corrección de continuidad de Fleiss, Tytun y Ury (1980). El tamaño corregido aproxima la prueba exacta de Fisher; el tamaño sin corregir, la χ² de Pearson.

1-\beta=\Phi\!\left(\frac{\lvert p_1-p_2\rvert\sqrt{r\,n_1}-z_{1-\alpha/k}\sqrt{(r+1)\,\bar p\,\bar q}}{\sqrt{r\,p_1q_1+p_2q_2}}\right)

$\Phi$: función de distribución acumulada de la normal estándar
$k$: 2 si el contraste es bilateral, 1 si es unilateral

Modo inverso: poder alcanzable con un tamaño ya fijado. Es la misma ecuación despejada, sin corrección de continuidad; es también la curva que dibuja la gráfica.

h=2\arcsin\sqrt{p_1}-2\arcsin\sqrt{p_2},\qquad n=\frac{2\left(z_{1-\alpha/k}+z_{1-\beta}\right)^2}{h^2}

$h$: tamaño del efecto de Cohen para dos proporciones
$k$: 2 si el contraste es bilateral, 1 si es unilateral

Alternativa de Cohen (1988): la transformación arcoseno estabiliza la varianza, de modo que el tamaño depende solo de h. Es la vía de pwr::pwr.2p.test y da cifras muy parecidas, no idénticas, a las de Fleiss.

n_{\mathrm{aj}}=\left\lceil\frac{n_1}{1-L}\right\rceil+\left\lceil\frac{n_2}{1-L}\right\rceil

$L$: proporción de pérdidas previstas durante el seguimiento

Ajuste por pérdidas de Lwanga y Lemeshow (1991). El redondeo hacia arriba se aplica una sola vez y por grupo, al final, porque no se recluta a media persona: los totales que se muestran son la suma de los dos grupos ya redondeados, y el valor exacto sin redondear aparece en el detalle de cada celda.

Código R

# Sample size for two independent proportions (Fleiss) - Bioestadistica abierta, UDG-CA-1190
# Runs as is in R, RStudio or webR; prints the results as JSON at the end.
library(jsonlite)
library(pwr)

p1 <- 0.7; p2 <- 0.85       # proportions expected in group 1 and in group 2
alfa        <- 0.05        # significance level
lateralidad <- "bilateral" # "bilateral" or "unilateral"
poder       <- 0.8       # target power, 1 - beta
r           <- 1           # allocation ratio n2/n1 (1 = equal groups)
correccion  <- "si"  # "si" = report the continuity-corrected n
perdidas    <- 0.1    # expected losses to follow-up, 0 to 0.5
n_dado      <- 0      # inverse mode: n1 already available; 0 = not used

alternative <- if (lateralidad == "bilateral") "two.sided" else "one.sided"
tside  <- if (lateralidad == "bilateral") 2 else 1
z_alfa <- qnorm(alfa / tside, lower.tail = FALSE)
z_beta <- qnorm(poder)

# Fleiss (1981; Fleiss, Levin & Paik 2003, section 4.2) written out by hand so that
# any allocation ratio is allowed: pooled variance under H0, separate variances under H1.
d    <- abs(p1 - p2)
q1   <- 1 - p1
q2   <- 1 - p2
pbar <- (p1 + r * p2) / (r + 1)
qbar <- 1 - pbar
n1_fleiss <- (z_alfa * sqrt((r + 1) * pbar * qbar) + z_beta * sqrt(r * p1 * q1 + p2 * q2))^2 / (r * d^2)
n2_fleiss <- r * n1_fleiss

# Continuity correction of Fleiss, Tytun & Ury (1980): the corrected n approximates
# Fisher's exact test, the uncorrected one approximates Pearson's chi-squared.
n1_cc <- n1_fleiss / 4 * (1 + sqrt(1 + 2 * (r + 1) / (r * n1_fleiss * d)))^2
n2_cc <- r * n1_cc

n1 <- if (correccion == "si") n1_cc else n1_fleiss
n2 <- r * n1
n_total    <- n1 + n2
n_ajustado <- n_total / (1 - perdidas)   # Lwanga & Lemeshow 1991; the interface takes the ceiling

# Same problem solved by base R. It assumes equal groups, so with r != 1 there is
# nothing to compare against; tryCatch keeps an unsolvable design from stopping the script.
n_ppt <- if (r == 1) {
  tryCatch(power.prop.test(p1 = p1, p2 = p2, sig.level = alfa, power = poder,
                           alternative = alternative, tol = 1e-10)$n,
           error = function(e) NA_real_)
} else NA_real_

# Cohen's h (arcsine transformation) and the n that pwr derives from it. pwr has no
# "one.sided" level: the one-sided test is asked for with "greater" and h > 0, so the
# magnitude of h is what travels, exactly as pwr itself does with "two.sided".
h_cohen <- ES.h(p1, p2)
alt_pwr <- if (lateralidad == "bilateral") "two.sided" else "greater"
n_pwr_h <- if (r == 1) {
  tryCatch(pwr.2p.test(h = abs(h_cohen), sig.level = alfa, power = poder,
                       alternative = alt_pwr)$n,
           error = function(e) NA_real_)
} else NA_real_

# Inverse mode: power attainable with n1 = n_dado and n2 = r * n_dado, by the same
# normal formula of Fleiss without the continuity correction.
poder_dado <- if (n_dado >= 2) {
  pnorm((d * sqrt(r * n_dado) - z_alfa * sqrt((r + 1) * pbar * qbar)) / sqrt(r * p1 * q1 + p2 * q2))
} else NA_real_

res <- list(z_alfa = z_alfa, z_beta = z_beta,
            n1_fleiss = n1_fleiss, n2_fleiss = n2_fleiss,
            n1_cc = n1_cc, n2_cc = n2_cc,
            n1 = n1, n2 = n2, n_total = n_total, n_ajustado = n_ajustado,
            n_ppt = n_ppt, h_cohen = h_cohen, n_pwr_h = n_pwr_h,
            poder_dado = poder_dado)
cat(toJSON(res, auto_unbox = TRUE, digits = NA))

# Equivalent in RStudio (not run in the browser):
# epiR::epi.sscompb(treat = 0.85, control = 0.70, n = NA, power = 0.80, r = 1, conf.level = 0.95)

Este es el mismo código que valida la calculadora: cópialo y ejecútalo en R o RStudio para reproducir el resultado.

La verificación con R dentro del navegador llegará en una próxima versión; mientras tanto, copia el código y ejecútalo en RStudio.

Métodos para manuscrito

El tamaño de muestra se calculó para comparar dos proporciones independientes (70.0 % frente a 85.0 %, razón de asignación 1), suponiendo que esas proporciones provienen de estudios previos o de un piloto, con α = 0.05 (bilateral) y un poder de 80 %, mediante la fórmula de Fleiss para dos proporciones independientes con la corrección de continuidad de Fleiss, Tytun y Ury [1,2]; se requieren 134 y 134 participantes por grupo, 268 en total. Se añadió un 10 % por pérdidas previstas [7], de modo que el objetivo de reclutamiento es de 298 participantes. Los cálculos se realizaron con la calculadora «Tamaño de muestra (dos proporciones)» de Bioestadística abierta (Cuerpo Académico UDG-CA-1190, https://udgca1190.com.mx/herramientas/bioestadistica/muestra-dos-proporciones), verificada contra R.

Párrafo listo para la sección de Métodos; los números entre corchetes remiten a la lista de referencias.

Referencias

01 Fleiss JL, Tytun A, Ury HK. A simple approximation for calculating sample sizes for comparing independent proportions. Biometrics. 1980;36(2):343–346. doi:10.2307/2529990 PMID: 26625475 Fuente original
02 Fleiss JL, Levin B, Paik MC. Statistical Methods for Rates and Proportions. 3.ª ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons; 2003. doi:10.1002/0471445428 Fuente original
03 Casagrande JT, Pike MC, Smith PG. An improved approximate formula for calculating sample sizes for comparing two binomial distributions. Biometrics. 1978;34(3):483–486. doi:10.2307/2530613 PMID: 719125 Complementaria
04 Lachin JM. Introduction to sample size determination and power analysis for clinical trials. Controlled Clinical Trials. 1981;2(2):93–113. doi:10.1016/0197-2456(81)90001-5 PMID: 7273794 Complementaria
05 Cohen J. Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences. 2.ª ed. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates; 1988. Complementaria
06 Champely S. pwr: Basic Functions for Power Analysis. R package version 1.3-0. CRAN; 2020. Complementaria
07 Lwanga SK, Lemeshow S. Sample Size Determination in Health Studies: A Practical Manual. Geneva: World Health Organization; 1991. Lectura didáctica
08 Hulley SB, Cummings SR, Browner WS, Grady DG, Newman TB. Designing Clinical Research. 4.ª ed. Philadelphia: Lippincott Williams & Wilkins; 2013. Lectura didáctica