Probabilidad posprueba: teorema de Bayes y nomograma de Fagan

https://udgca1190.com.mx/herramientas/bioestadistica/probabilidad-posprueba

Resultados

Probabilidad posprueba si el resultado es positivo

87.9 %

LR+: 17.00

Probabilidad posprueba si el resultado es negativo

6.3 %

LR−: 0.16

Cambio con un resultado positivo

+57.9

puntos porcentuales

Cambio con un resultado negativo

−23.7

puntos porcentuales

Momios preprueba

0.43

Momios posprueba (positivo)

7.29

Momios posprueba (negativo)

0.0677

Interpretación

Partiendo de una probabilidad preprueba de 30.0 % (momios 0.43), un resultado positivo la eleva a 87.9 % (+57.9 puntos porcentuales; momios 7.29) y uno negativo la reduce a 6.3 % (−23.7 puntos; momios 0.0677).

LR+ = 17.00: un resultado positivo produce un cambio grande y a menudo concluyente de la probabilidad (Jaeschke 1994).

LR− = 0.16: un resultado negativo reduce la probabilidad de forma moderada (Jaeschke 1994).

Decidir si la probabilidad posprueba cruza el umbral de tratamiento o el de pedir otra prueba corresponde al clínico: depende de la gravedad de la enfermedad, del riesgo y el beneficio del tratamiento y de las alternativas diagnósticas (Straus 2019). Los cortes de Jaeschke son orientativos, no umbrales de decisión.

Nomograma de Fagan: de la probabilidad preprueba (izquierda) a la posprueba (derecha) pasando por la razón de verosimilitud de cada resultado

Explicación

Antes de pedir una prueba, el clínico ya tiene una estimación de la probabilidad de la enfermedad (probabilidad preprueba: la prevalencia en ese contexto o la impresión clínica). La prueba no crea certezas: mueve esa probabilidad hacia arriba si es positiva y hacia abajo si es negativa. Cuánto la mueve lo dicen las razones de verosimilitud.

El cálculo es el teorema de Bayes (1763) escrito con momios: los momios posprueba son los momios preprueba multiplicados por la razón de verosimilitud del resultado obtenido. Los momios son la probabilidad dividida entre su complemento (30 % equivale a 0.43, es decir, 3 a 7) y se convierten de vuelta en probabilidad al final.

El nomograma de Fagan (1975) hace el cálculo con una regla: se une la probabilidad preprueba (eje izquierdo) con la razón de verosimilitud (eje central) y la recta corta el eje derecho en la probabilidad posprueba. Aquí se dibuja una recta por cada resultado, positivo y negativo.

Jaeschke, Guyatt y Sackett (1994) propusieron cortes orientativos para leer un LR: mayor de 10 (o menor de 0.1) produce cambios grandes y a menudo concluyentes; de 5 a 10 (0.1 a 0.2), moderados; de 2 a 5 (0.2 a 0.5), pequeños pero a veces importantes; entre 1 y 2 (0.5 a 1), rara vez importantes. Son convenciones, no umbrales de decisión: el umbral de tratamiento lo fija la situación clínica.

Ecuaciones

O_{\mathrm{pre}}=\frac{P}{1-P},\qquad O_{\mathrm{post}}=O_{\mathrm{pre}}\times \mathrm{LR},\qquad P_{\mathrm{post}}=\frac{O_{\mathrm{post}}}{1+O_{\mathrm{post}}}

$P$: probabilidad preprueba
$O_{\mathrm{pre}},\ O_{\mathrm{post}}$: momios (odds) preprueba y posprueba
$\mathrm{LR}$: razón de verosimilitud del resultado obtenido (LR+ si positivo, LR− si negativo)

Teorema de Bayes en forma de momios: es exactamente lo que resuelve el nomograma de Fagan (1975).

P(D\mid T^{+})=\frac{P(T^{+}\mid D)\,P(D)}{P(T^{+}\mid D)\,P(D)+P(T^{+}\mid \bar D)\,P(\bar D)}

$D,\ \bar D$: enfermedad presente y ausente
$T^{+}$: resultado positivo de la prueba

Forma clásica del teorema de Bayes (1763); P(T⁺ | D) es la sensibilidad y P(T⁺ | D̄), 1 − especificidad.

\LRp=\frac{\Sn}{1-\Sp},\qquad \LRn=\frac{1-\Sn}{\Sp}

Las razones de verosimilitud salen de la sensibilidad y la especificidad (calculadora «Prueba diagnóstica (tabla 2×2)»).

Código R

# Post-test probability by Bayes' theorem in odds form (Fagan 1975) - Bioestadistica abierta, UDG-CA-1190
# Runs as is in R, RStudio or webR; prints the results as JSON at the end.
library(jsonlite)

pre <- 0.3; lr_pos <- 17; lr_neg <- 0.158   # pre-test probability (0-1) and likelihood ratios

momios <- function(p) p / (1 - p)     # probability -> odds
post <- function(p, lr) {             # post-test probability; certainties (0 and 1) stay fixed
  if (p <= 0) return(0)
  if (p >= 1) return(1)
  o <- p / (1 - p) * lr
  o / (1 + o)
}
momios_pre <- momios(pre)
momios_post_pos <- momios_pre * lr_pos
momios_post_neg <- momios_pre * lr_neg
post_pos <- post(pre, lr_pos)         # after a positive result
post_neg <- post(pre, lr_neg)         # after a negative result

res <- list(post_pos = post_pos, post_neg = post_neg,
            ganancia_pos = post_pos - pre, ganancia_neg = pre - post_neg,
            momios_pre = momios_pre, momios_post_pos = momios_post_pos, momios_post_neg = momios_post_neg)
cat(toJSON(res, auto_unbox = TRUE, digits = NA))

Este es el mismo código que valida la calculadora: cópialo y ejecútalo en R o RStudio para reproducir el resultado.

La verificación con R dentro del navegador llegará en una próxima versión; mientras tanto, copia el código y ejecútalo en RStudio.

Métodos para manuscrito

La probabilidad posprueba se calculó con el teorema de Bayes en forma de momios (momios posprueba = momios preprueba × razón de verosimilitud) [1] y se representó con el nomograma de Fagan [2]; la magnitud del cambio se interpretó según los cortes orientativos de Jaeschke et al. [3]. Los cálculos se realizaron con la calculadora «Probabilidad posprueba (Fagan)» de Bioestadística abierta (Cuerpo Académico UDG-CA-1190, https://udgca1190.com.mx/herramientas/bioestadistica/probabilidad-posprueba), verificada contra R.

Párrafo listo para la sección de Métodos; los números entre corchetes remiten a la lista de referencias.

Referencias

01 Bayes T. An essay towards solving a problem in the doctrine of chances. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 1763;53:370–418. doi:10.1098/rstl.1763.0053 Fuente original
02 Fagan TJ. Nomogram for Bayes's theorem. New England Journal of Medicine. 1975;293(5):257. doi:10.1056/NEJM197507312930513 PMID: 1143310 Fuente original
03 Jaeschke R, Guyatt GH, Sackett DL. Users' guides to the medical literature. III. How to use an article about a diagnostic test. B. What are the results and will they help me in caring for my patients? JAMA. 1994;271(9):703–707. doi:10.1001/jama.271.9.703 PMID: 8309035 Fuente original
04 McGee S. Simplifying likelihood ratios. Journal of General Internal Medicine. 2002;17(8):646–649. doi:10.1046/j.1525-1497.2002.10750.x PMID: 12213147 Complementaria
05 Deeks JJ, Altman DG. Diagnostic tests 4: likelihood ratios. BMJ. 2004;329(7458):168–169. doi:10.1136/bmj.329.7458.168 PMID: 15258077 Lectura didáctica
06 Straus SE, Glasziou P, Richardson WS, Haynes RB. Evidence-Based Medicine: How to Practice and Teach EBM. 5.ª ed. Edinburgh: Elsevier; 2019. Lectura didáctica